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腹线与节线
2020-08-01 阅读:669


当两个同调点波源互相干涉 (Interference)时,会出现稳定的干涉图形(如图一),其中明暗交互出现的线条便是腹线(antinodal line) 与节线 ( nodal line)。腹线与节线可在水波槽干涉实验中被观察。

腹线与节线图一 (图片来源

波的干涉指的是两个以上的波通过同样的空间时,互相叠加产生新的波形。干涉遵守叠加原理 (Principle of superposition),当不同波通过同一个空间时,空间中每一个点所受到的影响是所有波在该处造成的影响之总和,在许多场合中,不同的波之间可视为彼此不会影响。

涉可分为建设性干涉和破坏性干涉,由两波在空间中该点的相位差决定。若两波峰/波谷同时到达空间中的一点(同相),该点会有最大振幅,是为建设性干涉;相反地,若一波的波峰与另一波的波谷同时到达一点(反相),则两波对该点的影响相互抵消,称为破坏性干涉。 当两个互相干涉波源所发射出来的波始终具有特定的相位关係时,称之为同调波源。两个同调波源干涉,则两波在空间中任一点的相位差不随时间改变,就会形成稳定的干涉图形。

以两同调之正弦波为例:

$$\begin{array}{ll}y_1=y_m\sin{(kx-\omega t)}&y_2=y_m\sin{(kx-\omega t+\varphi)} \end{array}$$

$$y=y_1+y_2=2y_m\cos{(\frac{1}{2}\varphi)}\sin{(kx-\omega t+\frac{1}{2}\varphi)}$$

在新叠加成的波 $$y$$ 中,振幅为 $$2y_m\cos{(\frac{1}{2}\varphi)}$$。

当 $$\varphi=0$$,两波同相,$$2y_m\cos{(\frac{1}{2}\varphi)}$$ 有最大值,产生完全建设性干涉;

当 $$\varphi=\pi$$,两波反相,$$2y_m\cos{(\frac{1}{2}\varphi)}$$ 有最小值,产生完全破坏性干涉。

在二维平面中,产生完全建设性干涉/破坏性干涉的点会彼此连接,交互出现,形成腹线与节线(腹线为建设性干涉,节线为破坏性干涉)。平面中任一点到与两波源之间的距离差是为波程差,当两同调波源之间没有相位差时,若波程差为波长的整数倍,则该点相位差为零,产生腹线;若波程差是波长整数倍再加上半波长,相位差恰好为 $$180$$ 度,则会产生节线。在节线处由于破坏性干涉,看起来就如同没有波通过一般。

腹线与节线的图形是双曲线,空间中任一点到固定两点(波源)的距离差为定值所产生的曲线,正是双曲线的定义。

以下为一个水波干涉的示意图:

腹线与节线图二 (图片来源

在两波源中间,垂直于两波源连线的中央线,实与腹线相同,为建设性干涉产生之处(波程差为零)。在中央现的两边,依序为第一节线、第一腹线、第二节线、第二腹线……

腹线与节线的数目由波长和波源间距决定。当 $$n\lambda<1/2$$ 两波源间距 $$d<(n+1)\lambda$$ 时($$\lambda$$:波长),两侧各会产生 $$n$$ 条腹线;当 $$(n-1/2)\lambda<1/2$$ 两波源间距 $$d<(n+1/2)\lambda$$ 时,两侧各会产生 $$n$$ 条节线。

数目又间接影响了腹线与节线的疏密:当波长较大时,腹线与节线数目较少,间距较大,波长较小时间距则较密集,如图三所示。

腹线与节线图三 (图片来源

波源间距较大时,腹线与节线数目变多,会较密集,波源间距较小则较分开,如图四所示。

腹线与节线图四 (图片来源


参考资料

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